理论物理新方向：用高一维的拓扑序来全息理解量子场论

本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），编辑：陈钢（北京大学），作者：文小刚

广义对称性是一种超越群论的新型的对称性，其需要用高一维的拓扑序来描写。演生的广义对称性可能完全决定无能隙态（也就是量子场论）的低能性质，这改变了我们对量子场论和无能隙系统的基本看法和思路。这将成为量子场论与强关联量子物质研究的一个重要方向，甚至可能是一个主导的方向。

撰文|文小刚（美国国家科学院院士、麻省理工学院格林讲席教授）

编辑|陈钢（北京大学）

凝聚态物理是研究多体系统（如材料）物理性质的学科。该领域最重要的问题之一是理解材料中大量自由度在量子基态（即低温态）下的组织形式，因为系统几乎所有的低温性质都由此决定。我们将量子基态中的这种组织形式称为“量子纠缠模式”。

数学上，N粒子系统的基态由波函数，一个关于N个变量的复函数Φ(m1，m2，…，mN)，来描述。要理解多体系统的量子纠缠模式（即理解多体系统的量子相——这里的“相”指液相、固相等相态），我们需要对N→∞极限下的复波函数Φ(m1，m2，…，mN)进行分类。这种分类问题是物理学最基础的问题之一，因为它决定了多体系统可能存在的相态。

由于历史原因，长期以来物理学家认为波函数（即量子纠缠模式）可通过对称性分类，例如波函数是否在"自旋"旋转Φ(mi)→Φ(mi+m)下保持不变。基于此种观点，人们认为物质的相也由对称性分类，而对称性都可用数学中的群论来描写。这就是群论成为物理学重要数学基础的原因，也是每位物理学生都需要学习群论的原因。然而1989年的研究发现，仅凭对称性不足以完全分类波函数Φ(m1，m2，…，mN)具备的所有可能的组织形式。为了理解超越对称性的新型多体组织形式，我们需要把物质态分为两类。一类是有能隙的物质态，一类是无能隙的物质态。有能隙的物质态，包括绝缘体，量子霍尔态等等，其需要注入一个有限大小的能量来产生一个激发。无能隙的物质态，包括超导体，超流体，量子相变的临界点等等，其产生一个激发所需的能量可以是无限小。这两种物质态，都具有超越对称性的组织形式（也具有由对称性所描写的组织形式）。

在有能隙系统中，这种超越对称性的新型多体组织形式被称为“拓扑序”（2010年，我们意识到拓扑序本质上是长程纠缠的模式），这开启了凝聚态物理理论研究的一个新方向。

超越对称性框架，在N→∞极限下，对波函数Φ(m1，m2，…，mN)进行完全分类，这一数学问题极具挑战性。而发展这一描述多体纠缠模式的数学理论至关重要，代表着理论物理的未来方向。

其实，多体纠缠（即拓扑序）是物理学中的全新现象，其需要全新数学语言来描述。这正像牛顿时代曲线运动需要全新的数学——微积分——来描述。这种新数学是什么？2005年以来的研究表明，高阶融合范畴理论可能正是描述长程纠缠的数学框架，正如群论是描述物理中对称破缺的数学框架，这为我们全面理解有能隙物态提供了数学的框架及语言。这让我们对有能隙物态有了一个完全系统的理解。

下一步，我们想要完全系统地理解联无能隙量子物态与量子场论（这两个名称指向同一问题）。这些无能隙的量子物质可能甚至没有弱相互作用的准粒子激发。这是理论物理学长期悬而未决的难题。我们在量子色动力学（QCD）、早期宇宙相变、高温超导体、量子自旋液体、量子材料临界点等问题中都面临这一困境。近年来理论物理学的新进展，让我们有望在这一长期难题上取得突破，这或将推动理论物理学进入新纪元。

这一新发展受到两个方面的推动：第一个是过去三十余年通过对有能隙高度纠缠物质相（即拓扑序）的研究，我们发现拓扑序和多体纠缠模式可通过新数学理论——高阶融合范畴——来进行描述和分类；第二个是近十年对对称性本质有了更全面深入的理解。

众所周知，对称性可约束低能动力性质，也就是限制无能隙态和量子场论的性质。同样值得注意的是，无能隙态和量子场论在低能区可呈现演生对称性，我们可利用这种演生对称性来表征无能隙态和量子场论的低能性质。

过去十年来，我们发现量子系统演生对称性的形式十分丰富：既包括传统群论描述的对称性，也包含反常对称性、高阶群所描述的高阶对称性、反常高阶对称性，以及超越群与高阶群的不可逆对称性等。所有这些广义对称性都可用于表征无能隙态和量子场论的低能性质。

当对称性被如此深度推广后，其与（不可逆的）引力反常已难以区分——后者同样可约束低能动力性质。我们又知道（不可逆的）引力反常本质上就是高一维的拓扑序。这两点发现引导我们建立了描述上述广义对称性的统一理论。这一统一理论不是群论，而是高一维的拓扑序，也就是数学上的高阶融合范畴。

当把对称性理论如此深远地扩展之后，我们突然发现，有一个愿景，或者说是梦想，也许可以成真：演生的广义对称性可能完全决定无能隙态（也就是量子场论）的低能性质。换言之，每一个可能的低能性质都对应于一个演生的广义对称性。如此一来，对高阶融合范畴的分类（既对高一维的拓扑序的分类）将导致对所有可能低能性质（即可能的共形场论）的分类。若此猜想成立，我们对无能隙态和量子场论的理解将跃升至新高度。量子场论问题，将不是一个微积分问题、微分方程问题、格林函数问题或纤维丛问题，而是一个范畴问题。或者更进一步，是一个数论问题。这完全改变了我们对量子场论和无能隙系统的基本看法和思路。这将成为量子场论与强关联量子物质研究的一个重要的方向，甚至可能是一个主导的方向。

中国和华裔科学家在这一新方向有众多开创性的贡献。下面罗列一些这方面早期的直接相关和间接相关的研究工作：

[1]Alexei Kitaev，Liang Kong

Models for gapped boundaries and domain walls

https://arxiv.org/abs/1104.5047

[2]L.Kong and X.-G.Wen，

Braided fusion categories，gravitational anomalies，and the mathematical framework for topological orders in any dimensions，

https://arxiv.org/abs/1405.5858

[3]D.Fiorenza and A.Valentino，

Boundary conditions for topological quantum field theories，anomalies and projective modular functors，

Commun.Math.Phys.338，1043(2015)，

https://arxiv.org/abs/1409.5723

[4]Maissam Barkeshli，Parsa Bonderson，Meng Cheng，Zhenghan Wang

Symmetry Fractionalization，Defects，and Gauging of Topological Phases

https://arxiv.org/abs/1410.4540

[5]D.Gaiotto，A.Kapustin，N.Seiberg，and B.Willett，

Generalized global symmetries，

J.High Energ.Phys.172，(2015);

https://arxiv.org/abs/1412.5148

[6]L.Kong，X.-G.Wen，and H.Zheng，

Boundary-bulk relation for topological orders as the functor mapping higher

categories to their centers，

https://arxiv.org/abs/1502.01690

[7]Meng Cheng，Cenke Xu

A series of(2+1)D Stable Self-Dual Interacting Conformal Field Theories

https://arxiv.org/abs/1609.02560

[8]Tian Lan，Liang Kong，Xiao-Gang Wen

A classification of 3+1D bosonic topological orders(I):the case when point-like excitations are all bosons

https://arxiv.org/abs/1704.04221

[9]L.Kong and H.Zheng，

Gapless edges of 2d topological orders and enriched monoidal categories，

Nucl.Phys.B 927，140(2018)，

https://arxiv.org/abs/1705.01087

[10]C.-M.Chang，Y.-H.Lin，S.-H.Shao，Y.Wang，and X.Yin，

Topological defect lines and renormalization group flows in two dimensions，

J.High Energ.Phys.2019(1)，26，

https://arxiv.org/abs/1802.04445

[11]F.Benini，C.Córdova，and P.-S.Hsin，

On 2-group global symmetries and their anomalies，

J.High Energ.Phys.2019(3)，118，

https://arxiv.org/abs/1803.09336

[12]C.Zhu，T.Lan，and X.-G.Wen，

Topological nonlinearσ-model，higher gauge theory，and a systematic con-

struction of 3+1D topological orders for boson systems，

Phys.Rev.B 100，045105(2019)，

https://arxiv.org/abs/1808.09394

[13]Qing-Rui Wang，Zheng-Cheng Gu

Construction and classification of symmetry protected topological phases in interacting fermion systems

https://arxiv.org/abs/1811.00536

[14]Z.Wan and J.Wang，

Higher anomalies，higher symmetries，and cobordisms I:classification of higher-

symmetry-protected topological states and their boundary fermionic/bosonic anomalies via a generalized cobordism theory，

Annals of Mathematical Sciences and Applications 4，107(2019)，https://arxiv.org/abs/1812.11967

[15]Ce Shen，Ling-Yan Hung

A Defect Verlinde Formula

https://arxiv.org/abs/1901.08285

[16]R.Thorngren and Y.Wang，

Fusion Category Symmetry I:Anomaly In-Flow and Gapped Phases，

J.High Energ.Phys.2024，132，

https://arxiv.org/abs/1912.02817

[17]W.Ji and X.-G.Wen，

Categorical symmetry and non-invertible anomaly in symmetry-breaking and topological phase transitions，

Phys.Rev.Res.2，033417(2020)，

https://arxiv.org/abs/1912.13492

[18]T.Lichtman，R.Thorngren，N.H.Lindner，A.Stern，and E.Berg，

Bulk anyons as edge symmetries:Boundary phase diagrams of topologically ordered

states，

Physical Review B 104，075141(2021)，

https://arxiv.org/abs/2003.04328

[19]L.Kong，T.Lan，X.-G.Wen，Z.-H.Zhang，and H.Zheng，

Algebraic higher symmetry and categorical symmetry:A holographic and entanglement view of symmetry，

Phys.Rev.Res.2，043086(2020)，

https://arxiv.org/abs/2005.14178

[20]Yuting Hu，Yidun Wan

Electric-Magnetic duality in twisted quantum double model of topological orders

https://arxiv.org/abs/2007.15636

[21]D.Gaiotto and J.Kulp，

Orbifold groupoids，

J.High Energ.Phys.2021(2)，132，

https://arxiv.org/abs/2008.05960

[22]Yuting Hu，Zichang Huang，Ling-yan Hung，Yidun Wan

Anyon Condensation:Coherent states，Symmetry Enriched Topological Phases，Goldstone Theorem，and Dynamical Rearrangement of Symmetry

https://arxiv.org/abs/2109.06145

[23]Yu-An Chen，Po-Shen Hsin

Exactly Solvable Lattice Hamiltonians and Gravitational Anomalies

https://arxiv.org/abs/2110.14644

[24]Yichul Choi，Clay Cordova，Po-Shen Hsin，Ho Tat Lam，Shu-Heng Shao

Non-Invertible Duality Defects in 3+1 Dimensions

https://arxiv.org/abs/2111.01139

[25]Justin Kaidi，Kantaro Ohmori，Yunqin Zheng

Kramers-Wannier-like duality defects in(3+1)d gauge theories

https://arxiv.org/abs/2111.01141

[26]F.Apruzzi，F.Bonetti，I.Etxebarria，S.Hosseini，and S.Schäfer-Nameki，

Symmetry TFTs from string theory，

Communications in Mathematical Physics 402，895(2023)，

https://arxiv.org/abs/2112.02092

[27]A.Chatterjee and X.-G.Wen，

Symmetry as a shadow of topological order and a derivation of topological holographic principle，

Phys.Rev.B 107，155136(2023)，

https://arxiv.org/abs/2203.03596

[28]Jian-Hao Zhang，Shang-Qiang Ning，Yang Qi，Zheng-Cheng Gu

Construction and classification of crystalline topological superconductor and insulators in three-dimensional interacting fermion systems

https://arxiv.org/abs/2204.13558

[29]Zhi-Feng Zhang，Qing-Rui Wang，Peng Ye

Non-Abelian Fusion，Shrinking and Quantum Dimensions of Abelian Gauge Fluxes

https://arxiv.org/abs/2208.09228

[30]Maissam Barkeshli，Yu-An Chen，Po-Shen Hsin，Ryohei Kobayashi

Higher-group symmetry in finite gauge theory and stabilizer codes

https://arxiv.org/abs/2211.11764

[31]Wen-Yuan Liu，Shou-Shu Gong，Wei-Qiang Chen，Zheng-Cheng Gu

Emergent Symmetry in Quantum Phase Transitions:From Deconfined Quantum Critical Point to Gapless Quantum Spin Liquid

https://arxiv.org/abs/2212.00707

[32]Yi-Nan Wang，Yi Zhang

Fermionic Higher-form Symmetries

https://arxiv.org/abs/2303.12633

[33]T.Lan and J.-R.Zhou，

Quantum Current and Holographic Categorical Symmetry

https://arxiv.org/abs/2305.12917

[34]Linhao Li，Masaki Oshikawa，Yunqin Zheng

Intrinsically/Purely Gapless-SPT from Non-Invertible Duality Transformations

https://arxiv.org/abs/2307.04788

[35]Ruizhi Liu，Ho Tat Lam，Han Ma，Liujun Zou

Symmetries and anomalies of Kitaev spin-S models:Identifying symmetry-enforced exotic quantum matter

https://arxiv.org/abs/2310.16839

[36]Xing-Yu Ren，Shang-Qiang Ning，Yang Qi，Qing-Rui Wang，Zheng-Cheng Gu

Stacking Group Structure of Fermionic Symmetry-Protected Topological Phases

https://arxiv.org/abs/2310.19058

[37]Gong Cheng，Lin Chen，Zheng-Cheng Gu，Ling-Yan Hung

Precision reconstruction of rational CFT from exact fixed point tensor network

https://arxiv.org/abs/2311.18005

[38]Leonardo A.Lessa，Meng Cheng，Chong Wang

Mixed-state quantum anomaly and multipartite entanglement

https://arxiv.org/abs/2401.17357

[39]Liang Kong，Zhi-Hao Zhang，Jiaheng Zhao，Hao Zheng

Higher condensation theory

https://arxiv.org/abs/2403.07813

[40]Ruochen Ma，Yabo Li，Meng Cheng

Quantum Cellular Automata on Symmetric Subalgebras

https://arxiv.org/abs/2411.19280

[41]Ryohei Kobayashi，Yuyang Li，Hanyu Xue，Po-Shen Hsin，Yu-An Chen

Universal microscopic descriptions for statistics of particles and extended excitations

https://arxiv.org/abs/2412.01886

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