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如何给地球拍一张“素颜照”？

来源：晰数塔互联网快讯时间：2020年05月27日 09:00

文章来自微信公众号：科学大院（ID：kexuedayuan），作者：王素（作者单位：中国科学院大气物理研究所），头图来源：视觉中国

自亚里士多德第一次论证出地球是圆形，经过几个世纪的发展，“地圆说”已经成为了一种主流意识。

然而这么简单的道理，不相信的人却大有人在！

地球上有这么一个逐渐壮大的组织——地平论国际联盟（FEIC）。他们坚信，地球就是一个大平面，北极圈是中心，各大洲和各大洋漂浮在其周围。而最外围，是南极圈那高达45米的冰墙，将地球围绕在中间。太阳和月亮则是在上空以24小时为周期，永不停歇旋转着的“碳烤灯”。

“地平论”者认为的地球运转（图片来源：科学网）

他们坚持认为：是各国政府联合起来欺骗了人们，不然为什么联合国会徽上是平面的地球，为啥投影面不放南极点？为了让人们信服，他们还拿出自己的“证据”：在平面和球面上，怎么解释洋流分布和各国大小都完全不同，而且变化的非常随意。

图片来源：知乎

分享一个冷知识：依照联合国宪章的规定，南极洲不属于世界上任何一个国家，为全人类共同保护之地，所以投影面选择以北极为中心。

同样的国家，不同样的大小，到底谁说了“谎”？——地图投影

关于“地平论”，网友提出：地图中格陵兰岛和南非大陆面积相差不大，而实际上格陵兰岛面积为南非大陆1/14、比南美洲小9倍”，地图上同一个国家怎么大小差距这么大？这要从地图投影说起。

地图投影，就是要建立地球表面的点与地图平面上的点之间一一对应的关系。

地球仪又大又笨，古时候人们不能抱着地球仪工作和生活。如果遇到一些需要精准确定方位和方向的情况，就要将地球仪变得能放进裤兜里——将3维的球体投影到2维的平面上，做成地图。而如何做到二维地图不失真，就成了绘制地图最大的难题。

如果尝试将地球仪剪开，铺成一个平面，你会得到这样一个“橘子瓣”。因为维度变换，不可避免的会产生变形扭曲。我们带着它走南闯北也太“南”了。

如果将地球强行铺平，大概是这个样子（图片来源：酷玩实验室）

地图进化史：“美颜”绘图有风险

1. 墨卡托投影

为了帮助航海家了解世界，16世纪，地图学家墨卡托发明了等角正轴圆柱投影——墨卡托投影。

他以地轴方向作为平行线，将地球展开成一个圆柱，经线变为一组竖直的等距离平行线，再将圆柱展开成平面，实现了从球面到平面的置换。通过这样的方法，一点上任何方向的长度比均相等，更妙的是没有角度变形的困扰，地图显示方位和方向居然跟实际方位一模一样，简直是导航一把好手！因此成为现在最热门的世界地图投影方式。

动图来源：知乎

但是，由于越靠近两级，将地球拉成圆柱的过程地表上的点“走”的路程越多，相邻纬线间隔由赤道向两极增大，面积变形也随之增大。也就产生了上面提到的面积不一的误解：格陵兰岛就算和非洲（后者实际面积是前者10倍以上）相比，也会呈现出压倒性的优势。

这可能是最经典的“眼睛也会骗人”了。

墨卡托投影地图里显示（左），和按照真实的面积大小进行还原后（右）的格陵兰岛和非洲（图片来源：知乎）

2. 地图投影方式大全

其实，目前通用的投影方式，除了圆柱投影，还有方位投影（同样是保证角不变但是面积失真，代表：极射赤面投影）和圆锥投影（保证面积不变但是角失真，代表：兰伯特投影）。按照投影角度的不同，实际用到的投影又可以细分为27种之多！当以北极点作为平面与椭球的切点时，看到的就是联合国LOGO呈现出的样子了~

图片来源：百度百科

但是这些投影方式或多或少都有自己的“小毛病”。既然地图失真，我们唱了几代人的“亚洲雄鸡”，形状是真实存在的么?

不用担心。我国发行的中国基本比例尺地形图除1：100万（采用兰勃特投影）以外，均采用高斯-克吕格Gauss-Kruger投影。

假设一个椭圆柱面与地球椭球体南北极相切于N，S，球体中心在椭圆柱中心轴上，并使某一子午线与椭圆柱相切（此子午线称中央子午线）。按照等角条件将中央经线两侧一定范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面沿过N，S的椭圆柱母线剪开，展开成平面，就是高斯-克吕格Gauss-Kruger投影。

这种投影很适用于中低纬小地区的地图。相较于其他投影，它长度和面积的变形都是最小的，能最大程度保证我们看到的是一个真实的中国！

高斯-克吕格投影（图片来源：CSDN）

可以发现，正是因为地球是球形，人们才会始终与地图变形抗争。相反，如果地球真是平面，那绘制一个绝不失真的地球，不就是轻而易举的事情了么？

关闭“美颜”，“素颜地图”谁来拍？

上面提到的所有投影方式，有一个共同的特点——都按照总是相互垂直（我们称为正交）的经纬度来划分。因此你可以快速找到同一纬度/经度通过的所有国家，却对每个国家到底有多大无能为力。

那么，会存在一个更写实的投影方式么？

来自日本庆应义塾大学的设计师成川肇（Hajime Narukawa）就找到这么一个更精确的地图投影方法——AuthaGraph。

图片来源：Good Design Award官网

乍一看，AuthaGraph世界地图委实有点“怪”，不同于常见的椭圆形世界地图，它方方正正，本该一目了然的经线纬线也萎靡地弯成了一团毛线。

但是，它却是目前为止最精确展现了陆地和海洋的位置和比例的地图！为了避免直接将球体直接展开带来的投影误差，成川肇先将地球面积划分成了 96 等分，从而保留各区域面积比。然后，将各部分变形为一个个正三角锥体，再通过切割将这个四面体展开，最后得到一个长宽比约为 1 比 1.73 的长方形。将得到的所有长方形无缝隙拼接，最终得到了全球地图。

图片来源：Good Design Award官网

我们也终于看到原来南极洲不仅靠近南美洲，而且还靠近非洲和澳大利亚。

由于成功使3D变2D，并忠实地代表了所有的海洋和大陆，包括被忽视的南极洲。并且这个模版可以移动至世界各地，以任何一个区域为中心展开，得到更加精细和精确的区域地图，AuthaGraph世界地图在2016年日本Good Design Award设计奖中拔得头筹，并被认定为等面积地图。地图也出现在日本小学生的教科书中。

更有趣的是，成川肇公司的其中一个产品——AuthaGraph Globe，可以实现2D到3D的“魔法”！通过组装产品，你可以了解 AuthaGraph是如何实现从球体到平面的转换。

图片来源：Good Design Award官网

这可以说是三角网格应用的完美案例了！但它的应用可不止如此！由于任意多边形网格都能转换成三角网格，相对于一般多边形网格，三角网格更简单易操作，它在图形学和建模中被广泛使用，可以用来模拟复杂物体的表面，如建筑、车辆、人体等。可以说网格划分是建立有限元模型的关键技术之一！

当然你要想详细了解它究竟是如何实现的，就要去打开计算机图形学的大门了。

图片来源：CSDN

没想到吧，小小地图也有大学问。地球虽然不是平面，却能通过科学的方法变成平面。真让人不得不感慨数学的奇妙呀！

网格与气象，不是冤家不聚头

上面所有的地图就是被经纬度划分成无数多的小块，每一块，都可以称之为一个网格（grid）。只不过，有的网格很规则，有的很“艺术派”。但正是他们相互配合着，才再现了一个有机的整体——地图。网格对气象来说有多重要呢？

网格还可以经过不断切割，切割出的网格越小，代表的面积越小，也就是说精度越高。随着科技的发展，我们甚至实现了水平和垂直尺度的双精度提高！

基于WebGL的网页版三维数字地球（图片来源：知乎）

我们知道，预报天气离不开数值模拟，而这一工作，就是将地球按网格划分，通过计算机用无数数学公式计算不同网格之间的相互作用实现的。那么，数值预报怎么跟地球投影扯上关系的呢。

球坐标系与投影坐标系示意图（图片来源：慕课）

其实在绝大部分情况下，我们研究的不会是整个地球（需要考虑的是地理坐标系，坐标单位经纬度）。毕竟，从地球上看你从一个城市飞往另一个城市，可能就是一个基本不移动的小点了。因此有限区域内的变化更受到关注。这时，为了求解的简便，会忽略球面曲率的影响，而是将研究区域看为一个以指定经线为Y轴，与它垂直的为X轴的平面（称为投影坐标系，坐标单位米）。

这样即保持了研究区域在地球上球面坐标的特点，又由于只涉及水平方向的坐标变换而起到简化方程运算的作用。而究竟选择那个投影方式更好，就得看你想研究的是地球上哪一块儿了。

这时，通过已经总结出的坐标系变换方法，我们就能将数值计算中的网格与投影面上的网格一一对应。然后将初始资料输入模式，等待他告诉我们答案，最终你得到的结果是海量的预测数据。

最后通过软件，将结果加工为可视化的平面图，我们就能知道明天哪里下雨哪里天晴，哪里风儿向哪儿吹，污染往哪儿跑了。

你可能会问，由于存在投影误差，我们得到的预报结果不就不准确了么?

气象学家在区域模式模拟时会保证关心区域位于中心，使得投影扭曲最小。而且，投影方式带来的误差远比搭建模式的动力框架和物理过程的误差小，因此我们可以舒口气了。

那为啥不将最新最准确的投影方式也应用到模式中么？

考虑到使用的简便，气象学家们发现增加投影复杂度以后，对结果的修正效果不大，不是那么“划算”，因此目前区域模式最常用的还是Lambert投影。

但是，为了将我们感兴趣的区域变化看得更清楚，科学家正努力提高超级计算机的性能，让我们可以模拟的网格越来越小，分辨率越来越高，从而实现更精准的预报。